Mancato preavviso: cosa comporta?

Lavoro da 15 anni con contratto part time come biologa presso una struttura privata, e dal mio tipo di contratto si evince che dovrei dare 120 gg di preavviso per dare le dimissioni. Avendo fatto domanda nelle scuole statali e parificate fuori regione, nel caso di una proposta di contratto la mia disponibilità dovrebbe essere immediata. La mia domanda é: esiste un preavviso minimo su cui conteggiare il risarcimento al datore di lavoro o realmente vengono conteggiati 120 gg? In tal caso, come dovrei comportarmi per non uscirne penalizzata? Grazie